\section{ Veid\c{u} atpa\v{z}inimas }
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.66]{figures/blured}  
\caption{Atsp�kite asmenis pavaizduotus paveiksl�liuose}
 \label{fig:blured}
\end{figure}

\begin{itemize}
\small{
%\subsection{\href{http://www.cs.waikato.ac.nz/ml/weka/}{Klasifikavimo metod� biblioteka WEKA}}
\item \hyperref[ivdn]{Veido geometrin� normalizacija}
\item \hyperref[vpln]{Veido pilkumo lygm� (fotometrin�) normalizacija}
\item \hyperref[pi]{Po�ymi� i�skyrimas}
\item \hyperref[pp]{Po�ymi� palyginimas}
\item \hyperref[tsl]{Tik�tinumo santykio logaritmas}
\item \hyperref[Nuorodos]{Nuorodos}
\item \hyperref[Praktinis]{Praktinis darbas}
\item \hyperref[Literatura]{Literat�ra}
}
\end{itemize}

\subsection{Veido geometrin� normalizacija}
\label{ivdn}

Veido segmentacija apytiksliai �vertina veido aki� pozicijas.
Laikysime, kad vaizde buvo i�skirtas tik vienas veidas, kurio aki� pozicijos
nusakomos skai�iais
$$
\mbox{akys } =  {(x_{\mbox{de�in�s}},y_{\mbox{de�in�s}}),
(x_{\mbox{kair�s}},y_{\mbox{kair�s}})}   =  
{(x_{d},y_{d}),
(x_{k},y_{k})}.
$$
Koordinat�s pateiktos �prastu b�du, t.y. koordina�i�
prad�ios ta�kas yra vir�utiniame kairiajame paveiksl�io kampe.
�ioje koordina�i� sistemoje $ x_{\mbox{de�in�s}} < x_{\mbox{kair�s}}$.
Atliekant veido dyd�io normalizacij� pasirenkamas standartinio dyd�io sta�iakampis
ir jame nurodomos standartin�s aki� pozicijos. Paprastumo d�lei, kad b�t� ma�iau
laisv� parametr�, naudosime tik aki� koordinates standartinio dyd�io vaizde,
o sta�iakampio dyd� apibr��ime naudodami standartini� aki� koordinates.
D�l simetrijos, nat�ralu laikyti, kad sta�iakampio plotis yra dvigubai didesnis
u� aki� vidurinio ta�ko abscis�. Sta�iakampio auk�t� apibr��ime formule

$$H   =   \mbox{(aki� ordinat�)} + 1.5 \mbox{(atstumas tarp aki�)}.$$
Gaunamo veido rezoliucij� lemia ta�keli� tarp aki� skai�ius.
Fiksuokime konkre�ias standartines aki� koordinates:

$$akys_{\mbox{standartin�s}}   =   \{ (100, 190), (230, 190) \}.$$
�iuo atveju atstumas tarp aki� yra $130$ vaizdo ta�keli�,
o normalizuoto standartinio sta�iakampio dydis:

$$ ((100 + 230)/2*2, 190 + 3*(230-100)/2   =   (330, 385 ).$$
Skai�iuojant ta�keliais, prisideda po vienet� prie plo�io ir ilgio
ir gauname tokio dyd�io standartin� sta�iakamp�:

$$ \mbox{Standartinis veido sta�iakampis }  =   331x386 \mbox{ ta�keli� vaizdas}.$$
Kaip atvaizduoti pradin� vaizd� � �� sta�iakamp�? Postuluosime,
kad atvaizdis yra standus, t.y. transformacija bet kok� trikamp� atvaizduoja � trikamp�
i�laikydama pradinio trikampio kampus tarp kra�tini� ir vir��ni� orientacij�.
Matemati�kai standi transformacija apra�oma lygtimi

$$u   =   s \cos(f) x - s \sin(f) y + a,$$
$$v   =   s \sin(f) x + s \cos(f) y + b.$$
�ia $(x,y)$ yra pradinio vaizdo ta�kelio koordinat�s, o $(u,v)$
standartinio dyd�io sta�iakampio koordinat�s. Parametras $s$ apibr��ia
atvaizd�io mastel�; s�lyga $s  >  0$ garantuoja, kad po atvaizd�io trikampio
vir��ni� orientacija nesikei�ia. Parametras $0 \le f  <  2 \pi $  apibr��ia pos�kio kamp� tarp
pradin�s x a�ies ir pasuktos u a�ies; kampo reik�m� matuojama radianais prie�
laikrod�io rodykl�. Parametr� $a$ ir $b$ pora nusako poslink�.
Ta�kas $(a,b)$ yra $(x,y)$
koordina�i� prad�ios ta�ko koordinat�s naujoje $(u,v)$ koordina�i� sistemoje.

Turint aki� koordinates pradin�je ir naujojoje koordina�i� sistemoje,
t.y.
$$\{(x_{\mbox{de�in�s}},y_{\mbox{de�in�s}}),
(x_{\mbox{kair�s}},y_{\mbox{kair�s}})\}   =  
\{(x_{d},y_{d}),(x_{k},y_{k})\}
$$
ir
$$\{(u_{\mbox{de�in�s}},v_{\mbox{de�in�s}}),
(u_{\mbox{kair�s}},v_{\mbox{kair�s}})\}   =  
\{(u_{d},v_{d}),(u_{k},v_{k})\}   =  
\{(100,190),(230,190)\}
$$
lengvai rasime stand�ios transformacijos parametrus:
\begin{eqnarray*}
s \cos(f) &=& ((x_{d}-x_{k})*(u_{d}-u_{k})+
(y_{d}-y_{k})*(v_{d}-v_{k}))/
((x_{d}-x_{k})^{2}+(y_{d}-y_{k})^{2}),\\
s \sin(f) &=& ((x_{d}-x_{k})*(v_{d}-v_{k}) -
(y_{d}-y_{k})*(u_{d}-u_{k}))/
((x_{d}-x_{k})^{2}+(y_{d}-y_{k})^{2}),\\
a  & = &  u_{k} - s \cos(f) x_{k} + s \sin(f) y_{k},\\
b  & = &  v_{k} - s \sin(f) x_{k} - s \cos(f) y_{k}.
\end{eqnarray*}
Naudojantis �iomis formul�mis nesunku apskai�iuoti mastelio $s$
ir pos�kio kampo $f$ reik�mes, ta�iau stand�ios transformacijos formulei apibr��ti
pakanka �inoti $s \cos(f)$ ir $s \sin(f)$ reik�mes, kurias apskai�iavome
nenaudodami nei �aknies traukimo, nei arktangento operacij�; tai spartina
skai�iavimus.

Atvirk�tin� transformacija, t.y. originalios $(x,y)$ koordinat�s,
apskai�iuojamos �inant naujas $(u,v)$ koordinates pagal formules
\begin{eqnarray*}
x   &=&   s^{-1} \cos(f) u + s^{-1} \sin(f) v + a',\\
y   &=&  -s^{-1} \sin(f) u + s^{-1} \cos(f) v + b',\\
a'   &=&   -s^{-1} \cos(f) a - s^{-1} \sin(f) b,\\
b'   &=&  s^{-1} \sin(f) a - s^{-1} \cos(f) b.
\end{eqnarray*}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.15]{figures/02463d634.jpg}  
\caption{Originali nesegmentuoto veido nuotrauka,
 MBGC target original 02463d634.jpg, 2272x1704 ta�keli�}
 \label{fig:kewinOrig}
\end{figure}
\ref{fig:kewinOrig} paveiksl�lio
aki� pozicijos yra $\{(1138,227), (1291,230)\}$.
Nuotraukoje yra MBGC veido duomen� baz�s koordinatoriaus
\href{http://www.nd.edu/~kwb/}{Kevin W. Bowyer} veidas.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{figures/02463d634.png} 
\caption{Geometri�kai normalizuotas standartinio dyd�io segmentuotas veidas, 331x386 ta�keli�}
 \label{fig:kewinGeomNorm}
\end{figure}
\ref{fig:kewinGeomNorm} paveiksl�lyje pavaizduotas geometri�kai normalizuotas Kevino Bowyer veidas,
aki� pozicijos: $\{(100,190), (230,190)\}$.


�inant atvirk�tin�s transformacijos formules, normalizuoto dyd�io vaizdas
$RGB(u,v)$ gaunamas pagal formul�

$$RGB(u,v) = rgb( s^{-1} cos(f) u + s^{-1} sin(f) v + a',
	-s^{-1} sin(f) u + s^{-1} cos(f) v + b' ),$$
kur $rgb(x,y)$ yra pradinio originalaus vaizdo R,G ir B spalv� komponent�s.
Skai�iuojant pagal para�ytas formules gaunamos nesveikaskait�s koordinat�s $(x,y)$.
Tod�l atliekant praktinius skai�iavimus rgb(x,y) reik�m� da�niausiai pakei�iama
\hyperref{bib:bities}{bitiesine interpoliacija} panaudojant sveikaskai�i� koordina�i�
$rgb[i,j], rgb[i+1,j], rgb[i,j+1]$ ir $rgb[i+1,j+1]$ reik�mes, kur $i = [x]$ ir $j = [y]$
yra $x$ ir $y$ sveikosios dalys.

\ref{fig:kewinOrig} pav. pateiktas veido originalios nuotraukos vaizdas. �i nuotrauka
paimta i� MBGC target original kolekcijos; nuotraukoje yra MBGC duomen� rinkinio
koordinatoriaus \href{http://www.nd.edu/~kwb/}{Kevin W. Bowyer} veidas.

\ref{fig:kewinGeomNorm} pav. pateiktas segmentuotas iki standartinio dyd�io 331x386 veidas.
Segmentacijai naudotos tokios aki� pozicijos: $\{(1138,227), (1291,230)\}$.

Programos derinimui galite pasinaudoti konkre�iomis lygtimis, kurios gaunasi
pateikt� paveiksl�li� duomenims:
\begin{eqnarray*}
   u   &=&    0.8493466564181399 x  +  0.016653856008199 y  -  870.336920317704\\
   v   &=&    -0.016653856008199 x  +  0.849346656418140 y  +  16.1503971304125\\
   x   &=&    1.1769230769230770 u  -  0.023076923076923 v  +  1024.69230769231\\
   y   &=&    0.0230769230769231 u  +  1.176923076923077 v  +  1.07692307692308.
\end{eqnarray*}

Taip pat naudinga patikrinti, kad �sta�ius � pirmas dvi j�s� gautas lygtis
$x = x_{k}, y = y_{k}$, turite gauti $u = u_{k}, v = v_{k}$.
Analogi�kai, �sta�ius � tre�i� ir ketvirt� lygt� reik�mes
$u = u_{d}, v = v_{d}$, turite gauti $x = x_{d}, y = y_{d}$.
Kadangi m�s� atveju gavome ma�� kampo $ f = -0.02 $ vert�, tai rei�kia, kad
segmentuojamo veido akis jungianti ties� sudaro ma�� kamp� su horizonto linija.
$ s = 0.85 $ vert� artima vienetui. Tai rodo, kad normalizuoto
iki standartini� aki� pozicij� paveiksll�lio rezoliucija ma�ai pasikeit�. Konkre�iau,
1-as originalaus vaizdo ta�kelis atitinka 0.85 segmentuoto veido ta�keli� ($s = 0.85$) ir
1-as segmentuoto paveiksl�lio ta�kelis atitinka 1.18 originalaus paveiksl�lio ta�keli� ($s^{-1} = 1.18$).
Taigi m�s� atveju segmentacijos mastelis yra $1 : 1.18$.

Dar viena naudinga informacija yra nejudamas transformacijos ta�kas. Pagal nejudamo
ta�ko apibr��im� originalaus vaizdo plok�tumos ta�kas $(x,y)$
(neb�tinai sveikaskai�i� reik�mi� ir neb�tinai priklausantis originaliam vaizdui ) vadinamas nejudamu,
jei to paties ta�ko koordina�i� reik�m�s gautos segmentuot� vaizd� atitinkan�ioje plok�tumoje,
lieka nepakitusios. Kitaip tariant nejudamas ta�kas tenkina lygtis
 $ x = u $ ir $ y = v $. Galimi trys kokybi�kai skirting� segmentacij� atvejai.
\begin{enumerate}
\item Segmentuotas ir originalus vaizdas neturi nejudamo ta�ko.

Taip bus tada ir tik tada, kai segmentacijos mastelis yra $1:1$,
segmentacijos pos�kio kampo $f$ reik�m� yra kartotin� $2 \pi$ ir segmentuotas ir originalus
vaizdai {\bf nesutampa}. Kitaip tariant �iuo atveju vaizdai yra paslinkti vienas kito at�vilgiu.
\item Visi segmentuoto ir originalaus vaizdo ta�kai yra nejudami.

Taip bus tada ir tik tada, kai segmentacijos mastelis yra $1:1$,
segmentacijos pos�kio kampo $f$ reik�m� yra kartotin� $2 \pi$ ir segmentuotas ir originalus
vaizdas {\bf sutampa}. Paprastai kalbant abu vaizdai �iuo atveju sutampa.
\item Segmentuotas ir originalus vaizdas turi tik vien� nejudam� ta�k�.

Taip bus tada ir tik tada, kai segmentacijos mastelis yra ne $1:1$ arba pos�kio kampo reik�m� yra
nekartotin� $2 \pi$ ( pakanka bent vienos s�lygos ).
\end{enumerate}
Kadangi m�s� segmentacijos pavyzd�io $ s \neq 1 $ ( ir $f \neq 0 $ ),
segmentacij� atitinkanti transformacija tur�s tik vien� nejudam� ta�k�. Nejudamo ta�ko koordinat�s
yra
$$
 x = u = -5695.631970260222,
$$
$$
 y = v = 736.82156133829.
$$
Nejudamo ta�ko koordinates taip pat galite panaudoti programos derinimui.
Papras�iausiai �statykite �ias koordinates � $(x,y)$ ir $(u,v)$ s�ry�i� lygtis ir turite gauti
nepakitusias koordinates.

\subsection{Veido pilkumo lygmen� normalizacija}
\label{vpln}
Literat�roje yra daug informacijos apie veido spalvos panaudojim� jo segmentacijai.
Ta�iau lyginant segmentuotus veidus da�niausiai atsisakoma
spalvin�s informacijos ir lyginamos veid� tekst�ros pateiktos pilkumo lygmenimis.
Pasteb�ta, kad baltaod�i� ir geltonod�i� veiduose dominuoja raudonoji ir �alioji
komponent�s, o m�lynojoje santykinai b�na daug triuk�mo. Tod�l per�jimo prie pilkumo lygmen�
formul�je
$$grey   =   a r + b g + c b$$
rekomenduojame paimti svorius $a=0.5, b=0.5$ ir $c=0$.
Skrupulingai optimizuojant veid� atpa�inimo kokyb� galima parinkti ir kitus
svorius, ta�iau mes fiksuosime �� paprast� variant�.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{figures/02463d634grey} 
\caption{Segmentuoto veido pilkumo lygmenys, naudota formul� $grey = ( r + g ) / 2$}
\label{fig:kewinGray}
\end{figure}
\ref{fig:kewinGray} pav. iliustruoja segmentuot� MBGC 02463d634 veid� pateikt� pilkumo lygmenimis.
Prakti�kai pasteb�ta, kad tiesiogiai skai�iuojant veid� po�ymius naudojantis
veido pilkumo lygmen� vaizdu gaunasi nestabil�s po�ymiai. Pagrindinis po�ymi�
nestabilumo �altinis yra veido ap�vietimas. Kintant ap�vietimo �altinio spektrui
ir pozicijai gaunasi skirting� pilkumo lygmen� vaizdai, o tai kenkia atpa�inimo kokybei.
Kad kiek eliminuoti ap�vietim�, atliekama taip vadinama veido {\em fotometrin�} arba {\em pilkumo lygmen�} normalizacija.
Normalizacijos pagrindin� id�ja i�naudoti ap�vietimo stiprio santykinai l�t� kitim�
gretimuose ta�keliuose. Prakti�kai normalizacija atliekama da�nai tokiu b�du:
\begin{enumerate}
\item Atliekamas pilkumo lygmen� vaizdo vidurkinimas $\sigma_{1}$ masteliu;
\item Atliekamas pilkumo lygmen� vaizdo vidurkinimas $\sigma_{2}  > \sigma_{1}$
masteliu;
\item Normalizuotas vaizdas apibr��iamas dviej� vidurkint� vaizd� santykiu arba skirtumu.
\end{enumerate}
Kad realizuoti �i� proced�r�, reikia pasirinkti vaizdo vidurkinimo b�d�. Teori�kai
tam tikra prasme optimalus vidurkinimas naudoja Gauso filtr�. Gauso funkcijos vidutinio
kvadratinio nuokrypio dydis $\sigma$ apibr��ia vidurkinimo mastel�. Gauso vidurkinimas
yra invarianti�kas vaizdo pos�kiui, ta�iau vidurkinimo proced�ra yra l�ta.
Vidurkinimas spar�iai atliekamas vidurkinant pasirinkto dyd�io kvadrato formos
slenkamuoju vidurkinimo langu, t.y. vidurkinimo filtras yra lygus $1$,
kai indeksai patenka � $2\sigma$ dyd�io kvadrat�, kurio vidurys yra ta�ke $(0,0)$,
kitais atvejais filtro reik�m� yra nulis. Ta�iau vidurkinimo
rezultatas panaudojant �� filtr� gana jautrus vaizdo pos�kiui ir poslinkiui,
nes filtras yra tr�kus, t.y. jo reik�m�s �uoliu pereina nuo $0$ iki $1$ ir atvirk��iai.

Tod�l mes pasirinksime tarpin� eksponentin� filtr�, kuris yra tolydus ir su kuriuo
spar�iai atliekami skai�iavimai. �i� filtravimas detaliai apra�ytas \hyperref{vidur.pdf}{vaizd� vidurkinimo} skyrelyje.
Kad atlikti veido fotometrin� normalizacij�,
pasirinksime du skirtingus eksponentini� filtr� mastelius, suvidurkinsime veid� ir imant gaut�
vaizd� santyk� arba skirtum� gauti normalizuot� vaizd�. Vidurkinimui naudosime
du tolyd�iai diferencijuojamus dvima�ius eksponentinius filtrus

\begin{eqnarray*}
f_{\sigma_1}(x) &=& c_1\left(1 + \frac{|x|}{\sigma_1} \right) e^{-\frac{|x|}{\sigma_1}}\\
f_{\sigma_2}(x) &=& c_2\left(1 + \frac{|x|}{\sigma_2} \right) e^{-\frac{|x|}{\sigma_2}}, \ \ x\in(-\infty,\infty).
\end{eqnarray*}
�ia $c_1, c_2$ normuojan�ios konstantos, kad filtrai konstantin� signal� atvaizduot� � t� pa�i� konstant�,
o filtr� masteli� parametrus fiksuosime taip: $\sigma_1=1$ ir $\sigma_2=2$.

\begin{figure}
\centering
a) \includegraphics[scale=0.5]{figures/02463d634blure1} 
b) \includegraphics[scale=0.5]{figures/02463d634blure2} 
\caption{Vidurkintas veidas su glod�iais eksponentiniais filtrais: $\sigma_1=1$ a) atveju ir $\sigma_2=2$ b) atveju.}
\label{fig:kewinBlured}
\end{figure}
\ref{fig:kewinBlured} pav. iliustruoja gautus vidurkinimo rezultatus.
Normalizuot� vaizd� apibr��ime i�rai�ka

\begin{eqnarray*}
	u^*(x,y) &=& 128 + c \delta(x,y),\\
	\delta(x,y) &=& ( u_1(x,y) - u_2(x,y) ) / ( ( u_1(x,y) + u_2(x,y) ) / 2).
\end{eqnarray*}
�ia $u_1$ ir $u_2$ vidurkinti \ref{fig:kewinBlured} pav. a) ir b) veidai.
Adityvi konstanta 128 paslenka vaizd� iki vidutinio pilkumo lygmens, o daugiklio
$c$ reik�m� parenkama taip, kad gauto normalizuoto veido pilkumo lygmenys
kist� nuo 0 iki 255. Jei vaizdas ta�ko $(x,y)$ aplinkoje ma�ai kei�iasi, tai
$\delta(x,y)$ reik�m� bus ma�a ir normalizuoto vaizdo reik�m� bus arti 128.
Kad i�ry�kinti ma�as reik�mes, normalizacijai galima naudoti papildom� d�men�
$\sgn(\delta(x,y)) \sqrt{|\delta(x,y)|} = \delta(x,y) / \sqrt{|\delta(x,y)|}$.
Pateiktoje iliustracijoje \ref{fig:kewinNormal} pav. b) panaudota tokia i�rai�ka:
$$
 u^*(x,y) = 128 + c ( \delta(x,y) + \delta(x,y) / \sqrt{|\delta(x,y)|} ).
$$
\begin{figure}
\centering
a) \includegraphics[scale=0.5]{figures/02463d634fotoNormal} 
b) \includegraphics[scale=0.5]{figures/02463d634fotoNormal1} 
\caption{
Normalizuot� pilkumo lygmen� veidai.
a) Normalizacija atlikta panaudojant $u^*(x,y) = 128 + c \delta(x,y) $ formul�.
b) Normalizacija atlikta panaudojant $u^*(x,y) = 128 + c ( \delta(x,y) + \frac{\delta(x,y)}{\sqrt{|\delta(x,y)|}} )$ formul�.
}
\label{fig:kewinNormal}
\end{figure}
\ref{fig:kewinNormal} pav. b) fotometrin� normalizacija labiau i�ry�kina smulkius tekst�ros poky�ius.
Abi normalizacijos �enkliai suma�ina d�l ap�vietimo kilusius veido pilkumo lygmen� poky�ius.
Nesunku pasteb�ti kaip suma��jo �e��li� �taka vaizdui, ta�iau ji pilnai n�ra eliminuota
ir vargu ar galima tik�tis idealaus veido fotometrin�s normalizacijos algoritmo.
Kuris normalizacijos variantas prana�esnis vizualiai sunku spr�sti, tai i�ry�k�ja
v�lesniuose etapuose kai atpa��stami veidai ir �vertinama veid� atpa�inimo kokyb�.

\subsection{Po�ymi� i�skyrimas}
\label{pi}
\subsubsection{Da�niausiai naudojami po�ymiai veidams atpa�inti}
Veid� atpa�inimo algoritmus galima suskirstyti �
dvi stambias kategorijas: globali� (holistic) ir lokali� (local)
po�ymi� lyginimo algoritmus. 1987 metais pasirod� {\em tikrinio
veido} (angl. $eigenface$) \cite{bib:eigenFace} metodas, kuris ilg� laik� buvo labai populiarus.
Tikrini� veid� metodas yra pagrindini� komponen�i� metodo (angl.
{\em Principal Component Analysis, PCA} dalinis atvejis. �io metodo
viena pirm�j� realizacij� \cite{bib:eigenFaceRealiz} atskleid� metodikos tr�kumus ir d�l prast�
veido atpa�inimo rezultat� yra naudojama da�niausiai kaip apatinis
atramos ta�kas kit� algoritm� rezultatams palyginti. Klasikinis tikrini� veid� algoritmas naudoja globalius po�ymius.
�io metodo modifikacijos da�nai atskir� veido komponen�i�
tikrines reik�mes ir bazines funkcijas ir tuo pa�iu
tolstama nuo holistin�s veido reprezentacijos. Kadangi modifikacijos duoda geresnius veid� atpa�inimo rezultatus, tai byloja apie
tikrini� veid� ir kit� holistini� metod� ydas.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics{figures/Eigenfaces} 
\caption{AT\&T laboratorijoje gaut� tikrini� veid� pavyzd�iai.}
\label{fig:eigenfaces}
\end{figure}
\ref{fig:eigenfaces} pav. iliustruoja kelis pirmuosius tikrinius veidus. Tikriniai veidai surandami
vidurkinant turim� geometri�kai normalizuot� veid� paveiksl�li� kolekcij� ir apskai�iavus standartinio dyd�io veid� kovariacin� matric�.
Toliau yra randami kovariacin�s matricos tikriniai tikrin�s reik�m�s ir tikriniai vektoriai kurie ir yra vadinami tikriniais veidais.
Tikriniai veidai sur��iuojame tikrini� reik�mi� ma��jimo tvarka, tod�l tikriniai veidai su ma�iausiais indeksais atspindi charakteringiausius (da�niausiai pasitaikan�ius) veid� nuokrypius nuo vidurkinio veido.
\ref{fig:eigenfaces} pav. iliustruojoje pateikti keturi pirmieji tikriniai veidai, kurie buvo gauti remiantis AT\&T labotarijoje turima veid� duomen� baze.
\href{http://blog.zabarauskas.com/eigenfaces-tutorial/}{http://blog.zabarauskas.com/eigenfaces-tutorial/ (\cite{bib:eigenFaceTutorial})} adresu rasite Manfredo Zabarausko tikrini� veid� metodikos apra�ym� ir demonstracin� program�.

\subsubsection{Lokal�s binariniai vaizdai}
LBP (angl. {\em Local Binary Patterns}) metodas buvo
sukurtas tekst�roms apra�yti ir palyginti neseniai (2004 metais) LBP
metodas buvo pritaikytas atpa�inti veidams \cite{LBPveidams}. D�l savo
paprastumo ir santykinai neblog� rezultat� LBM metodas labai
i�populiar�jo. LBP reik�m� priklauso nuo pasirinkto centrinio ta�kelio ir jo aplinkos.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{figures/LBP} 
\caption{LBP reik�m�s apskai�iavimas (naudota \cite{LBPveidams} darbo iliustracija).}
\label{fig:LBP}
\end{figure}
\ref{fig:LBP} pav. iliustruoja LBP reik�m�s apskai�iavim� viename ta�ke.
Kaip matyti i� iliustracijos, LBM reik�m� priklauso tik nuo santykinio pilkumo lygmen� didumo.
Tai rei�kia, kad atlikus bet koki� monotonin� vaizdo pilkumo lygmen� transformacij� gausime
transformuotam vaizdui tas pa�ias LBP reik�mes. �i savyb� rodo LBP po�ymi� atsparum� ir, kartu su paprastumu, yra pagrindinis �ios metodikos privalumas.
\begin{wrapfigure}{l}{0.30\textwidth}
    \includegraphics[width=0.25\textwidth]{figures/LBPveidams}
  \caption{Veid� suskaidytas � lokalias sritis, kuriose skai�iuojamos LBP reik�mi� histogramos}
\end{wrapfigure}
Taikant LBP po�ymius veidas, pastarasis padalinamas � ma�as lokalias sritis
kurioms apskai�iuojamos LBP reik�mi� histogramos. Skirting� veid� paveiksl�li� gautos LBM reik�mi� histogramos yra lyginamos ir j� pana�umas atspindi lyginam� veid� pana�um�. Suskaidymas veido � lokalias
sritis dar kart� atspindi t� fakt�, kad global�s po�ymiai nelabai kokybi�kai apra�o ir tod�l pereinama prie lokalesni�.
Ta�iau naudoti palyginimui pavienias LBP reik�mes b�t� keblu skai�iavimo laiko prasme ir i�kilt� problemos
nustatyti tiksliai poslinkio reik�mes, kurios garantuot� lyginam� autenti�k� veid� pana�um�.
Lokali� sri�i� LBP histogramos yra kompromisinis variantas, kurias naudojant veid� palyginimas atliekamas greitai ir toliaruojami nedideli lyginam� autenti�k� veid� poslinkiai.
Matematin�s statistikos terminais histogramos atspindi
LBP reik�mi� skirstin�, tod�l lyginant histogramas galima naudotis
matematin�s statistikos metodais. Palyginimo detales galite pasi�i�r�ti \cite{bib:LBPveidams} darbe.

LBP histogramos jautriai reaguoja � �vairius
ap�vietimo pasikeitimus, kartu ir � triuk�m�.
Charakteringos veido paveiksl�lio zonos, kuriose yra santykinai daug
triuk�mo, yra kakta ir skruostai. Tod�l kartais lyginant naudojami skirtingi svoriai skirting� LBP histogram� sritims.

Toliau apra�ysime po�ymi� grup�, kuri atspari triuk�mams, duoda gerus veid� palyginimo rezultatus ir
yra da�nai naudojama geriausiuose veid� atpa�inimo algoritmuose.

\subsection{Gaboro lokal�s po�ymiai ir Gaboro  t�tos}
Gaboro po�ymiai gaunami filtruojant veid� �vairi� parametr� Gaboro filtrais.
Gaboro filtrus Daugmanas (\href{http://www.cl.cam.ac.uk/~jgd1000/}{http://www.cl.cam.ac.uk/~jgd1000/})
s�kmingai pritaik� i�skiriant akies rainel�s binarinius po�ymius.
Gabor filtrus taiko prakti�kai visos veid� atpa�inimo sistemos.
Apie veid� atpa�inimo technikas, gr�stas Gaboro po�ymiais, galite paskaityti
\ref{bib:faceOverview}, \ref{bib:faceGabor}, \ref{bib:faceElastic} darbuose.

Gaboro filtrai yra Gauso (angl. {\em Gaussian}) ir kosinuso bei
sinuso funkcij� sandaugos. Kadangi filtrai taikomi vaizdams, tai
visos funkcijos yra dviej� kintam�j� $x$ ir $y$.  Gauso funkcijos
reik�m�s priklauso tik nuo ta�ko $(x,y)$ atstumo iki
koordina�i� prad�ios ir turi vien� laisv� parametr� sigm�, kuris
apibr��ia funkcijos mastel�. Sinusas ir kosinusas da�niausiai
apjungiami � vien� kompleksin� eksponent� ir turi du laisvus
parametrus: krypties vektori� ir da�n�. Matemati�kai Gaboro
filtras apibr��iamas tokia i�rai�ka:
\begin{equation}\label{gaboroFiltras}
G(x,y) = s(x,y) \exp(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^2}),
\end{equation}
kur
$s(x, y)$ yra kompleksin� eksponent�, kurios realioji ir menamoji komponent�s skai�iuojamos pagal formules
\begin{eqnarray*}
\re s(x,y) &=& \cos( 2\pi f (x\cos\alpha + y\sin\alpha)),\\
\im s(x,y) &=& \sin( 2\pi f (x\cos\alpha + y\sin\alpha)),
\end{eqnarray*}
$\alpha$ filtro krypties, o $f$ - da�nio parametrai. \ref{fig:gaborCosSin} paveiksl�lis iliustruoja $\re s(x,y)$ ir $\im s(x,y)$ Gaboro filtro komponentes.

Jei $u(x,y)$ yra paveiksl�lio pilkumo lygmen� intensyvumo funkcija,
tai vaizdo Gaboro atsaku ta�ke $(x, y)$ vadinama s�s�ka
$$ (u*G)(x,y) = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty u(x-\xi,y-\eta) G(\xi,\eta) d\xi d\eta.$$
Daugumoje veid� atpa�inimo sistem�, naudojan�i� Gabor filtrus,
naudojami a�tuoni� orientacij� $\alpha$ ir
penki� masteli� $\sigma$ Gabor atsakai. \ref{fig:gabosTuta} paveiksl�lis iliustruoja �i� kryp�i� ir masteli� filtrus.

\begin{figure}
\centering
a) \includegraphics[scale=0.5]{figures/gaborCos} 
b) \includegraphics[scale=0.5]{figures/gaborSin} 
\caption{Gaboro filtro kompleksin�s eksponet�s fiksuotos krypties ir da�nio realioji (a pav.) ir menamoji (b pav.) komponent�.}
\label{fig:gaborCosSin}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{figures/gaborTuta} 
\caption{A�tuoni� kryp�i� ir penki� masteli� Gaboro filtr� kompleksas}
\label{fig:gaborTuta}
\end{figure}
Geometri�kai ir fotometri�kai normalizuoto veido srityje atliekama
s�s�kos operacijos su Gaboro filtr� kompleksu ir kiekviename ta�ke gaunamas $8\times5$ po�ymi� rinkinys, kuris vadinams Gaboro {\em t�ta}
(angl. {\em Gabor jet}). Gaboro t�ta charakterizuoja veido srit�, esan�i� apie centrin� (ta�k�, kuriame eksponentin� Gauso komponent� maksimali) Gaboro filtro ta�k�.
Veid� pana�umas apskai�iuojamas lyginant kiekvieno veido gautas t�tas.
Yra patikrinta prakti�kai, kad Gaboro po�ymiai
yra atspar�s ap�vietimo kitimui ir ma�am veido
nuokrypiui atsiradusiam po geometrin�s normalizacijos.
Jei veidui netaikoma fotometrin� normalizacija ir lyginami veidai fotografuoti skirtingo ap�vietimo s�lygomis,
tai Gaboro t�ta ti dalinai atspari ap�vietimo trugd�iams ir naudojant tokius po�ymius kiek pablog�ja veid� atpa�inimo rezultatai.

Pagrindinis Gaboro po�ymi� tr�kumas - jie l�tai apskai�iuojami.
Tod�l da�nai Gaboro po�ymiai �vertinami tik i�retintame centr� tinklelyje, o tai
menkina j� geb�jim� atskirti kiek paslinktus autenti�kus veidus. Ansk�iau apra�ytus vaizd� vidurkinimo simetrinius eksponentinius filtrus
galima apibendrinti �vedant da�nio parametr� ir su gautais filtrais galima atlikti greitus skai�iavimus,
bet detaliai �ios proced�ros �ia neapra�in�sime. Kad i�spr�sti Gaboro po�ymi� l�to apskai�iavimo problem�,
mes panaudosime greit� eksponentin� vidurkinim� ir taip Teiloro po�ymius, kurie taip pat greitai apskai�iuojami.

\subsection{Teiloro binariniai po�ymiai}
Apskai�iuodami veido po�ymius remsim�s normalizuotais veido vaizdais.
Lyginant vidurkintas tekst�ras stengsim�s �vertinti
pilkumo lygmen� kitimo tendencij� pasirinkto ta�ko aplinkoje.
Vaizdo pilkumo lygmenis galime �sivaizduoti dviej� kintam�j� funkcija $u=u(x,y)$.
I� matematin�s analiz�s gerai �inoma, kad glod�i� funkcij� galima gerai aproksimuoti
ta�ko aplinkoje �inant funkcijos i�vestines tame ta�ke. Nors vaizdai yra suvidurkinti,
ta�iau skai�iuojant auk�tesn�s eil�s i�vestines gaunamos nestabilios
stipriai osciliuojan�ios reik�m�s. Tod�l naudosime tik pirmos ir antros eil�s i�vestines:
\begin{eqnarray*}
u_{x}(x,y) &=& \frac{d u}{dx} , \ \  u_{xx}(x,y) = \frac{d^2 u}{dx^2}, \\
u_{y}(x,y) &=& \frac{d u}{dy} , \ \ u_{yy}(x,y) = \frac{d^2 u}{dy^2}.
\end{eqnarray*}
Psichofiziologai i�siai�kino, kad �mogaus regos sistema remiasi skirtingomis kryptimis
ir skirtingais masteliais filtruotais vaizdais. Imituodami �ias regos ypatybes, pasirinksime keturias
kryptis
$$\alpha = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4},$$
ir keliais skirtingais masteliais $\sigma$ vidurkinsime veido vaizdus.
Fiksuotai kryp�iai gauname tokias i�vestines:

\begin{eqnarray}
u^{\prime}_{\alpha}(x,y) &=& u_x(x,y)\cos\alpha + u_y(x,y) \sin\alpha,\label{uIsvKryp}\\
u^{\prime\prime}_{\alpha}(x,y) &=& u_{xx}(x,y)\cos^2\alpha + u_{xy}(x,y)\sin 2\alpha + u_{yy}(x,y)\sin^2\alpha. \label{uIsv2Kryp}
\end{eqnarray}
�iose formul�se i�vestin�s $u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}$ yra randamos kaip apra�yta eksponentiniame vaizd� filtravimo skyrelyje.
Kad taupyti po�ymiams saugoti reikalingus resursus ir v�liau b�t�
galima spar�iai atlikti dviej� veid� po�ymi� palyginim�, saugosime tik i�vestini� �enklus.
Toks po�ymi� pasirinkimas maksimaliai stabilizuoja po�ymio reik�m�.
Tarkime, vaizdo i�vestin�s �enklo pasikeitimas d�l triuk�mo rei�kia, kad vaizdas
ta�ko aplinkoje pakeit� savo did�jimo arba ma��jimo krypt�. Kadangi
m�s� vaizdai yra vidurkinami, tai toks pasikeitimas gali �vykti tik esant
pakankami dideliam triuk�mo lygiui. Dar vienas tokio pasirinkimo privalumas -
nenaudojami jokie adaptuoti prie duomen� slenks�iai, nes �enklas surandamas pagal viening� "slenkst�" lyg� 0.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{figures/bit0-7} 

\includegraphics[scale=0.6]{figures/bit8-15} 
\caption{Veido binariniai po�ymiai}
\label{fig:veidoBinPoz}
\end{figure}
\ref{fig:veidoBinPoz} pav. iliustruoja tokiu b�du gautus po�ymius. Raudona spalva �ymi neneigiamas
i�vestines, o m�lyna - neigiamas.
Pirmosios eilut�s i� kair�s � de�in� einantys binarini� po�ymi� vaizdai atitinka toki� i�vestini� �enklus:
$$
u^{\prime}_{0}(x,y), u^{\prime}_{\pi/4}(x,y), u^{\prime}_{\pi/2}(x,y), u^{\prime}_{3\pi/4}(x,y).
$$
Antrosios eilut�s binarini� po�ymi� vaizdai atitinka �enklus t� pa�i� i�vestini�,
skai�iuot� dviej� gretim� masteli� vidurkint� vaizd� skirtumams.\\
Tre�iosios eilut�s i� kair�s � de�in� einantys binarini� po�ymi� vaizdai atitinka toki� antrosios eil�s kryptini� i�vestini� �enklus:
$$
u^{\prime\prime}_{0,0}(x,y), u^{\prime\prime}_{\pi/4,\pi/4}(x,y), u^{\prime\prime}_{\pi/2,\pi/2}(x,y), u^{\prime\prime}_{3\pi/4,3\pi/4}(x,y).
$$
Ketvirtosios eilut�s binarini� po�ymi� vaizdai atitinka �enklus t� pa�i� antrosios eil�s kryptini� i�vestini�,
skai�iuot� dviej� gretim� masteli� vidurkint� vaizd� skirtumams.

Vaizd� vidurkinimo parametro $\sigma$ konkre�i� reik�mi� nenurodome; jas pasirinkite laisvai vizualiai kontroliuodami
gaunam� binarini� po�ymi� vaizdus. Gaunami binariniai vaizdai turi b�ti ne perdaug chaoti�ki,
nes tuomet lyginamos autenti�kos veid� poros vaizdai tur�s menk� pana�um�.
Taip pat binariniuose vaizduose neturi b�ti stambi� vieno �enklo sri�i�, nes tuomet lyginama
apsi�auk�li� veid� pora atsitiktai stambi� sri�i� d�ka gali tur�ti didel� dal� sutampan�i�
binarini� po�ymi�. I� pateikt� vaizd� matyti,
kad antrosios eil�s kryptini� i�vestini� �enklai labiau varijuoja,
nei pirmosios eil�s kryptini� i�vestini�. Didinant kryptin�s i�vestin�s eil� vis da�niau skiriasi
gretim� i�vestini� �enklai, tod�l lyginant tokius binarinius vaizdus vis sunkiau gauti reik�ming�
sutapim� lyginam� autentinti�k� veid� por�. Pateiktus po�ymius vadinsime {\em Teiloro binariniais}
 po�ymiais, nes jie gauti skleid�iant vidurkint� vaizd� lokaliai Teiloro eilute
ir binariniai po�ymiai koduoja skleidinio pirm�j� koeficient� �enklus. Lyginant su Gaboro po�ymiais,
pastar�j� naudojama �ymiai ma�iau. Taip yra d�l to, kad Gaboro po�ymiai santykinai l�tai apskai�iuojami
ir tod�l jie da�niausiai �vertinami i�retintame ta�keli� tinklelyje. Turint pilnas binarini�
po�ymi� matricas galima aptikti smulkius lyginam� vaizd� poslinkius, ta�iau kartu tai ilgina veid�
palyginimo ka�tus.

\subsection{Binarini� po�ymi� grupavimas}
Lyginant dviej� �ablon� binarinius po�ymius reikia apskai�iuoti
sutampan�i� bit� kiek�. Binarin� $xor$ operacija lygina dviej� skai�i�
bitus: sutampan�iose bit� pozicijose �ra�omas $0$, o nesutampan�iose $1$.
Dabartin�s architekt�ros kompiuteriai $xor$ operacijas gali atlikti
su skai�iais u�iman�iais nuo vieno iki a�tuoni� bait�.
Kad pagreitinti skai�iavimus, naudojamos i� anksto apdorotos lentel�s (angl. {\em lookup tables}),
kuriose saugojamas skai�iaus, atitinkan�io lentel�s indekso reik�m�, nulini� bit� kiekis. Lentel�s dyd�
apriboja atminties ka�tai. Prakti�kai �sitikinta, kad reikamos lentel�ms atminties
ir informacijos apdorojim� spartos optimumas pasiekiamas naudojant $16$-os bit�
lenteles. Toki� lentel� vadinsime $ZeroBits\#$. U�ra�ysime kelet� jos konkre�i� reik�mi�:

\begin{eqnarray*}
ZeroBits\#[0] &=& 16,\\
ZeroBits\#[1] &=& 15,\\
ZeroBits\#[2] &=& 15,\\
ZeroBits\#[3] &=& 14,\\
ZeroBits\#[4] &=& 15,\\
 &\cdots &\\
ZeroBits\#[0xfffe] &=& 1,\\
ZeroBits\#[0xffff] &=& 0.
\end{eqnarray*}
Kad panaudoti toki� nulini� bit� skaitliuk� lentel�,
paskai�iuotus binarinius po�ymius reikia apjungtimi grup�mis. Pirma mintis b�t�
papras�iausiai fiksuoti �ablono ta�ko $(x,y)$ koordinates ir apjungti �
{\em short} tipo (javos terminais) skai�i� �e�iolika skirtingomis kryptimis ir masteliais
apskai�iuot� i�vestini� binarinius (�enklo) po�ymius. Ta�iau toks pasirinkimas
grupuot� gana stipriai koreliuojan�ius po�ymius. Jei masteli� arba
kryp�i� reik�m�s yra artimos, tai tik�tina, kad i�vestini� �enklai sutaps;
tai ir apsprend�ia koreliavim�. Lyginant koreliuojan�ius binarini� po�ymi�
rinkinius did�ja tikimyb� atsitiktinai gauti didelias pana�umo reik�mes, o tai
didina tikimyb� apsi�auk�liams prisirinkti daug pana�umo ta�k�, kas blogina atpa�inimo
kokyb�. Pavyzd�iui, kra�tutin�s koreliacijos atveju, galime gauti, kad fiksuotam
ta�kui $(x,y)$ abiej� �ablon� visi 16-a bit� yra vienodi ( tarkime visos kryptin�s i�vestin�s teigiamos )
ir tokiame ta�ke gautume maksimal� bit� pana�um�. Kad i�vengti toki� atvej�,
si�lome viename $short$ tipo skai�iuje kaupti ne tos pa�ios pozicijos $(x,y)$ binarinius
po�ymius, o aplink j� esan�i� ta�keli� binarinius po�ymius.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1]{figures/sukurys} 
\caption{Binarini� po�ymi� s�kurio rinkinys.}
\label{fig:sukurys}
\end{figure}
{fig:sukurys} pav. iliustruoja pasirenkamus ta�ko aplinkos ta�kus. Centrinio ta�kelio $(x,y)$
pad�tis yra dviej� s�kuri� prad�ios ta�kas. Ir m�lynai ir juodai pa�ym�tuose
s�kuriuose yra pasirenkama po $16$-a ta�keli�. M�lyno ir juodo s�kuri� prad�ios ta�kas
�traukiamas � abudu $16$-os bit� rinkinius. Kad s�kuri� prad�ios ta�ko binarinio
po�ymio reik�m� nesikartot� abiejuose rinkiniuose, imami dviej� skirting�
masteli� ar kryp�i� i�vestini� �enklai. Einant vieno s�kurio gija taip pat kei�iamos
mastelio $\sigma$ ir i�vestin�s krypties $\alpha$ reik�m�s. Konkre�i� masteli� ir
kryp�i� taisykli� nenurodome; jas galite laisvai pasirinkti patys. Renkantis parametrus
stenkit�s, kad ta�ko aplinka b�t� ne per daug i�plitusi ir $16$-os bit� rinkinio
bitai b�t� kuo ma�iau koreliuojantys tarpusavyje.

\subsection{Po�ymi� palyginimas}
\label{pp}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1]{figures/mbgcDarb} 
\caption{Pana�umo metrikos derinimo aplinka.}
\label{fig:derinimoAplinka}
\end{figure}
Turint du po�ymi� �ablonus juos palyginti labai paprasta.
Papras�iausiai turite pasirinkti lyginimo centr� $(x,y)$ tinklel�
ir jo ta�kuose �vertinti pana�um�. Pana�umo metrik� apibr��ime formule
\begin{equation}\label{facesSimil}
\rho(Target,Query) = \sum_{(x,y) } ZeroBits\#(
	Target_{\mbox{Bit�Rinkinys}}(x,y) XOR Query_{\mbox{Bit�Rinkinys}}(x,y).
\end{equation}
Kad geriau b�t� interpretuoti gaut� pana�umo reik�m�, j� patartina normuoti.
Normuojant reikia adalinti gaut� pana�umo reik�m� i� teori�kai galiomos maksimalios pana�umo reik�m�s.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{figures/mbgc191x480} 
\caption{MBGC 191 Target ir 480 Query rinkinio �vairios DET kreiv�s.}
\label{fig:mbgcRokai}
\end{figure}

\subsection{Tik�tinumo santykio logaritmas}
\label{tsl}
Lyginam� por� pana�umo galim� reik�mi� sritis priklauso nuo lyginimo metrikos.
Tai apsunkina pana�umo reik�mi� interpretacij�. Tarkime jei vienos poros pana�umo reik�m� yra $\rho = 0.8$, o kitos - $\rho = 0.65$,
galime teigti, kad santykinai pirmosios poros veidai pana��s nei antrosios poros veidai,
ta�iau � kiekybin� klausim� "kiek kart� labiau pana��s" atsakyti negalima.
Tod�l biometrikoje vis da�niau taikomas {\em tik�tinumo santykio} ( angl. {\em Likelihood Ratio (LR)}) metrika,
kurios reik�mes galima interpretuoti kiekybi�kai. Lyginamos biometrijos poros $(X,Y)$ pana�umo tik�tinumo santykis
apibr��iamas formule
\begin{equation}\label{lr}
LR(X,Y) = \frac{P\{\mbox{Tik�tinumas, kad (X,Y) biometrikos sutampa} \}}
{P\{ \mbox{Tik�tinums, kad (X,Y) biometrikos nesutampa} \}}.
\end{equation}
Bendr�ja prasme tik�tinumas yra modelio tikimyb�, kai �inomi atlikto eksperimento rezultatai. M�s� atveju "eksperimento rezultatai"
yra veidai $X$ ir $Y$ ir j� po�ymiai. Skaitiklio tik�tinumas yra kokio nors modelio tikimyb� gauti ("i�matuoti") $X$ ir $Y$ veid� po�ymius,
darant prielaid�, kad veidai yra to paties asmens, o vardiklio tik�tinumas yra tikimyb� gauti tuos pa�ius $X$ ir $Y$ po�ymius,
darant prielaid�, kad veidai yra skirting� asmen�.
Pagal apibr��im� $LR$ reik�m�s gali kisti nuo $0$ iki $\infty$. Jei $0\le LR=LR(X,Y) < 1$, labiau tik�tina,
kad lyginami veidai $X$ ir $Y$ yra skirtingi. Prie�ingai, jei $1 < LR < \infty$, labiau tik�tina,
kad lyginami veidai sutampa. Kad i�vengti interval� $(0,1)$ ir $(1,\infty)$ dyd�io asimetrijos,
da�nai vartotojui pateikiama $LR$ nat�raliojo logaritmo reik�m�, kuri sutrumpintai �ymima
$LLR(X,Y) = LLR = \log(LR(X,Y))$ {\em (angl. Log Likelihood Ratio, LLR}).
Jei tik�tinumo santykio logaritmas teigiamas, labiau tik�tina, kad lyginamos poros veid� pavyzd�iai
yra vieno asmens. Prie�ingu atveju, kai tik�tinumo santykio logaritmas yra neigiamas,
labiau tik�tina, kad tiriamos poros veid� pavyzd�iai priklauso skirtingiems asmenims.
\begin{table}\label{tab:LLRirLR}
\caption{Tik�tinumo santykio LR ir jo nat�raliojo logaritmo LLR reik�m�s}
\begin{tabular}{|c|c|l|}
\hline
LR & LLR & Interpretacija\\
\hline
 1000  &  6.9  & Labai tik�tina, kad lyginami veidai sutampa \\ 
 403.4  &  6  & Labai tik�tina, kad lyginami veidai sutampa \\ 
 100  &  4.6  & Pakankamai tik�tina, kad lyginami veidai sutampa \\ 
 20.1  &  3  & Tik�tina, kad lyginami veidai sutampa \\ 
 10  &  2.3  & Labiau tik�tina, kad lyginami veidai sutampa \\ 
 7.4  &  2  & Labiau tik�tina, kad lyginami veidai sutampa \\ 
 1  &  0  & Vienodai tik�tina, kad lyginami veidai sutampa arba nesutampa \\ 
 1/7.4  &  -2  & Labiau tik�tina, kad lyginami veidai nesutampa \\ 
 1/10  &  -2.3  & Labiau tik�tina, kad lyginami veidai nesutampa \\ 
 1/20.1  &  -3  & Tik�tina, kad lyginami veidai nesutampa \\ 
 1/100  &  -4.6  & Pakankamai tik�tina, kad lyginami veidai nesutampa \\ 
 1/403.4  &  -6  & Labai tik�tina, kad lyginami veidai nesutampa \\ 
 1/1000  &  -6.9  & Labai tik�tina, kad lyginami veidai nesutampa \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\ref{tab:LLRirLR} lentel�je pateiktos $LR$ ir $LLR$ reik�m�s bei j� interpretacija.
Pavyzd�iui, jei LLR = 6.9, tai apie 1000 kart� labiau tik�tina, kad lyginamojo ir tiriamojo
veid� pavyzd�iai $X$ ir $Y$ priklauso vienam ir tam pa�iam asmeniui nei skirtingiems; ir atvirk��iai,
jei LLR = -6.9, tai apie 1000 kart� labiau tik�tina, kad lyginamojo ir tiriamojo
veid� pavyzd�iai priklauso skirtingiems asmenims nei tam pa�iam asmeniui.
Tik�tinumo santykiui �vertinti
naudojami visi turimi lyginamieji veid� pavyzd�iai ir vieno tiriam�j� katalogo
veid� pavyzd�iai. Tod�l kuo lyginam�j� daugiau, tuo LLR patikimumas didesnis.

Kad pagal (\ref{LR}) apskai�iuoti tik�tinumo santyk� $LR$, reikia �vertinti skaitiklio ir vardiklio reik�mes.
Tik�tinumo reik�m�s priklauso nuo pasirinkto modelio. Literat�roje modeliai da�nai konstruojami remiantis Gauso skirstiniu.
Gauso skirstinys yra simetrinis ir su bet kokiais modelio parametrais modeliuojamas dydis gali �gyti bet kokias
reik�mes i� intervalo $(-\infty,\infty)$. Ta�iau m�s� atveju modeliuojamos pana�umo reik�m�s $\rho$ visuomet patenka � $[0,1]$
u�dar� interval�. Tod�l mes modelio pagrindu pasirinkome eksponentin� skirstin�. Laikome, kad kiekvieno fiksuoto tiriamojo
$X$ pana�umo reik�mi� tik�tinumai tenkina tokias lygtis:
\begin{equation}\label{eq:tikVienod}
P( \rho(X,Y) = s | \mbox{esant prielaidai, kad } X \mbox{ ir } Y \mbox{ yra vienodi}) = \lambda \exp(\lambda (s-a_X) )
\end{equation}
ir
\begin{equation}\label{eq:tikSkirt}
P( \rho(X,Y) = s | \mbox{esant prielaidai, kad } X \mbox{ ir } Y \mbox{ yra skirtingi}) = \lambda \exp(-\lambda (s-b_X) ) .
\end{equation}
Laikome, kad ir skaitiklio ir vardiklio modelio parametras $\lambda$ yra vienodas. �� parametr� galima �vertinti
remiantis pana�umo reik�mi� dispersija, nes $1/\lambda^2$ yra eksponentinio skirstinio dispersija.
Poslinkio parametrai $0<a_X<b_X<1$ parenkami individualiai kiekvienam tiriamajam $X$. Jei �ie paramtrai yra �inomi ir
poros $(X,Y)$ apskai�iuota pana�umo reik�m� $\rho(X,Y) = s$, tuomet gauname tokias paprastas formules:
\begin{equation}\label{eq:LRExp}
LR(X,Y) = \lambda \exp(\lambda (s-a_X) ) / (\lambda \exp(-\lambda (s-b_X)) = \exp(\lambda (2s-a_X-b_X))
\end{equation}
ir
\begin{equation}\label{eq:LRRExp}
LLR(X,Y) = 2\lambda (s-\frac{a_X+b_X}{2}).
\end{equation}

Apra�ysime modelio parametr� $\lambda$, $a_X$ ir $b_X$ �vertinimo proced�r�.
$1/\lambda^2$ parametro tikimybin� interpretacija yra veid� pana�umo reik�mi� dispersija
skai�iuojant j� atskirai vienodiems ir skirtingiems veidams. Kadangi lyginamiems veidams turima
tiksli informacija kokie veidai sutampa, o kokie skirtingi, $\lambda$ parametras �vertinamas
naudojant tik lyginam�j� veidus $Y_1, Y_2, \cdots, Y_L$. �ym�jim� formul�se paprastumo d�lei laikysime,
kad visi lyginamieji veidai $Y_1, Y_2, \cdots, Y_L$ yra skirting� asmen�. Tuomet apskai�iuojame visus galimus
$L^2-L$ skirting� veid� pana�umus:
$$
\rho(Y_i,Y_j) = s_{i,j}, \ \ \ i, j = 1, \dots, L, i \neq j.
$$
Toliau kiekvienoje eilut�je $i$ i�sirenkame $K = [\sqrt{L}]$ did�iausi�j�:
$$
S_{i,k}, \ \ \ \ k=1,2,\dots,K
$$
ir dispersij� $1/\lambda^2$ �vertiname pagal �prast� dispersijos �ver�io formul�:
$$
1/\lambda^2 = \Sigma{i=1}^{L}( \Sigma_{k=1}^{K} S_{i,k}^{2} - ( \Sigma_{k=1}^{K} S_{i,k} )^{2} / K ) / (K-1) ) / L.
$$

$a_X$ ir $b_X$ ir parametr� �vertis priklauso nuo tiriamojo $X$.
Fiksuojame tiriam�j� veid� $X$ ir apskai�iuojame jo pana�um� � visus lyginamuosius $Y_1, Y_2 \cdots Y_L$:
$$ s_1, s_2, \cdots , s_L \ \ \ (s_l = \rho (X,Y_l)). $$
Laikome kad did�iausias pana�umas, t.y. $s^{max}=\max_{l}s_l$, priklauso vieno asmens lygint� veid� porai ir
j� naudojame skaitiklio tik�tinumo modelio parametrui $a_X$ �vertinti, postuluojant, kad $a_X=s^{max}$.
Laikome, kad antroji pagal dyd� veid� poros pana�umo reik�m� $s^{sec}=\max_{l}\{s_l \mbox{ i�skyrus } s^{max}\}$
atitinka skirtingus asmenis ir j� naudojame apibr��iant tik�tinumo santykio
vardiklio eksponentinio skirstinio modelio parametr� $b_X$, postuluojant, kad $b_X = s^{sec}$.

\subsection{Nuorodos}
\label{Nuorodos}
</p><p class=txt>Naudingos nuorodos parinktos pagal
veid� i�skyrimo specialist�
\href{http://facedetection.com/}{ Robert Frischholz }

\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Nuoroda & Komentarai \\
\href{http://facedetection.com/facedetection/techniques.htm}{Metodikos} & Veid� i�skyrimo populiariausi� metodik� trumpi apra�ymai\\
\href{http://facedetection.com/facedetection/publications.htm}{Straipsniai} & Veid� i�skyrimo rinktiniai straipsniai ir ap�valgos\\
\href{http://facedetection.com/facedetection/datasets.htm}{Duomenys} & �vairios veid� atpa�inimo ir i�skyrimo algoritm� testavimo duomen� baz�s\\
\href{http://facedetection.com/facedetection/software.htm}{Programin� �ranga} & Nuorodos � laisvai platinimas ir komercines veid� i�skyrimo bei atpa�inimo sistemas\\
\href{http://facedetection.com/facedetection/links.htm}{Nuorodos} & Veid� i�skyrimui skirtos nuorodos\\
\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Facial\_recognition\_system}{Sistemos} & Veid� atpa�inimo sistemos\\
\href{http://www.face-rec.org/}{Bendruomen�} & Veid� atpa�inimo bendruomen�\\
\href{http://facedetection.com/facedetection/misc.htm}{Kita} & Veid� iliuzijos ir kita\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Praktinis darbas}
\label{Praktinis}
{\em
Realizuokite veid� atpa�inimo algoritm�.

J�s� sukurtas veid� atpa�inimo algoritmas bus vertinamas pagal
pateikt� algoritmui ne�inom� veid� \textcolor{gold}{atpa�inimo kokyb�}.
}

Reikaling� algoritmui atiderinti veid� pavyzd�ius rasite
\href{http://www.mif.vu.lt/atpazinimas/veidai/}{�ia}.
Veid� atpa�inimo u�duotis pasirenkama laisvai, kai atliktos privalomos u�duotys.
Darbas atliekamas auditorijoje pratyb� metu arba savaranki�kai namuose atsiskaitant auditorijoje pratyboms skirtu laiku u� atskirus etapus.
\begin{enumerate}
\item Pilnos nuotraukos ir aki� pozicij� duomen� nuskaitymas, standartinio dyd�io
veido "i�kirpimas" (geometrin� normalizacija).

Per�jimas prie pilkumo lygmen� ir segmentuoto veido vidurkinimas dvima�iu simetriniu
eksponentiniu filtru ir fotometri�kai normalizuoto veido apskai�iavimas.

Atsiskaitoma pademonstruojant vidurkint� glod�iu eksponentiniu filtru
veid� ir jo normalizuot� pilkumo lygmen� variant�.

Vertinama iki \textcolor{gold}{1.25 balo}.

\item Veido binarini� po�ymi� apskai�iavimas.

Veid� binarini� po�ymi� palyginimas. Palyginimui naudokite s�kuri� binarini� po�ymi� rinkin� ir papras�iausi� pana�umo metrik�.
Palyginkite visas galimas Target ir Query veid� poras,  pasirinkt� Target ir Query
yra nedideli (iki 20 ) \href{http://www.mif.vu.lt/atpazinimas/veidai/}{mbgc veid�} aib�s poaibiai.

Atsiskaitoma parodant DET kreiv�.
Tema u�skaitoma, jei gautos DET kreiv�s EER (lygios klaidos tikimyb� ) nedidesn� kaip 30%.

Vertinama \textcolor{gold}{1.25 balo}.

\item Veid� verifikacijos konkursas.
Paruo�kite veid� verifikacijos algoritm�, kuris apskai�iuot� duot� mokymo (target.list) ir testavimo (query.list) s�ra�� por� pana�umus.

J�s� algoritmai bus testuojami su naujais MBGC veid� duomenimis.

Skai�iavimams turite perduoti d�stytojui algoritmus paruo�tus tokiu b�du.

\begin{itemize}
\item J�s� vykdomasis "*.exe" arba java "*.jar" failas (Matlab, Python ir kitos programavimo terp�s neturi b�ti naudojamos) turi b�ti paleid�iamas komandine eilute, kurioje papildomai nurodomi du parametrai: \href{http://www.mif.vu.lt/atpazinimas/veidai/mbgc/Target/Original/mbgcSmallTargetUncntr.list}{target.list} ir \href{http://www.mif.vu.lt/atpazinimas/veidai/mbgc/Query/Original/mbgcSmallQueryUncntr.list}{query.list}.

Tarkime, jei j�s� programos vardas ManoVeido.jar, naudojimo pavyzdys b�t�

{\em java -Xmx1024m -jar ManoVeido.jar \href{http://www.mif.vu.lt/atpazinimas/veidai/mbgc/Target/Original/mbgcSmallTargetUncntr.list}{mbgcBigTarget.list} \href{http://www.mif.vu.lt/atpazinimas/veidai/mbgc/Query/Original/mbgcSmallQueryUncntr.list}{mbgcQuery.list}}

\item J�s� programa turi kiekvien� fiksuot� Query s�ra�o element�

(pvz. F:/mbgc/data/StillChallenge/Query/Original/02463d1006.jpg ) sulyginti su visais target.list
s�ra�o elementais ir gautus rezultatus �ra�yti � *.roc formato fail�.

Pavyzd�iui \href={http://www.mif.vu.lt/atpazinimas/veidai/mbgc/Target/Original/mbgcSmallTargetUncntr.list}{mbgcBigTarget.list} ir \href{http://www.mif.vu.lt/atpazinimas/veidai/mbgc/Query/Original/mbgcSmallQueryUncntr.list}{mbgcQuery.list} s�ra�uose yra 
20 $target$ ir 19 $query$ paveiksliuk�. Tod�l � $ManoVeido.roc$ failo pirmuosius keturis baitus �ra�ote 20x19 = 380 sveik�j� skai�i� (binarine forma).

� sekan�ius keturis baitus �ra�ote 0 - target s�ra�o pirmojo failo numer�.

Sekan�iuose keturiuose baituose �ra�ote taip pat 0 - query s�ra�o pirm�j� numer�.

Kituose keturiuose baituose �ra�ote 1 (genuines/autenti�ka pora), nes ID(02463d634.png) = 02463 == ID(02463d1006.jpg) = 02463
( veido ID yra penki skaitmenys stovintys prie� failo pavadinimo "d" raid�, po "d" nurodomas filmavimo sesijos/kadro numeris, kuris *.roc �ra�� ne�takoja).

Kiti keturi ManoVeido.roc failo baitai patys svarbiausi - juose �ra�ote j�s� programa apskai�iuot� 

{\em similarity(02463d634.png,02463d1006.jpg)}

reik�m�.

Sekan�iame keturi� bait� ketvertuke pasikeis target �ra�o numeris (jis bus lygus 1 ),
genuine/impostors reik�m� bus 0, nes

ID(04201d429.png) = 04201 != ID(02463d1006.jpg) = 02463

ir taip pat tik�tina, kad gausite ma�esn� similarity(04201d429.png,02463d1006.jpg) reik�m�.

T�siant tolimesnius skai�iavimus, atkreipkite d�mes�, kad query �ra�� indeksai kinta ne po vienet� o spar�iau (tas pats gali b�ti ir target s�ra�o elementams).
Tokiu atveju � roc fail� �ra�ote i� *.list fail� nuskaitytas reik�mes.

\item Kad j�s� programa sugeb�t� palyginti pakankamai daug por�, jai keliami veid� poros  palyginimo spartos reikalavimai.

Skai�iavimai bus atliekami su Intel Core 2 Duo, 2.1 GHz, 3 Gb Ram PC.

Programa turi palyginti bent 100 veid� por� per sekund�.

Kad pagreitinti skai�iavimus, rekomenduotina pirma apskai�iuoti po�ymi� �ablon� target ir query bazes.

Rekomenduojama ekrane atspausdinti informacij�, kad kuriami palyginimui
reikalingi �ablonai. Maksimalus vieno �ablono suk�rimo laikas 1 sek.

\item Pilnai paruo�ta programa vykdymui kartu su program� pradiniais kodais
turi b�ti pateikta iki \textcolor{gold}{�. m.  gruod�io 15 d.} (imtinai).
\item Vertinama \textcolor{gold}{1} balo u� atitinkan�ius reikalavimus algoritmo pateikim�.

Papildomai, priklausomai nuo algoritmu gaut� rezultat�, skiriama \textcolor{gold}{iki penki�}
konkursini� egzamino bal�, kurie atsikirai prisideda prie j�s� pratyb� ir teorijos bal�.

\end{itemize}

\end{enumerate}
