\subsection{Vaizd� vidurkinimas ir gradiento �vertis}
Apibendrinsime vienma�i� signal� eksponentin� vidurkimo filtr� (\ref{eq:ef}) dvima�iams vaizdams:
\begin{equation}
\label{eq:ef2d}
v_\sigma(x,y) = \left(1 + \frac{|x|}{\sigma} \right)\left(1 + \frac{|y|}{\sigma} \right) e^{-\frac{|x|+|y|}{\sigma}},   x ,y \in (-\infty,\infty).
\end{equation}
Nesunku pasteb�ti, kas dvimatis filtras yra vienma�i� filtr� sandauga, t. y.
$$
v_\sigma(x,y) =v_\sigma(x)v_\sigma(y).
$$
�i filtro savyb� lemia, kad dvimatis filtravimas gali b�ti atliktas pirma vaizdo eilut�ms taikant eksponentin� filtravim�, o v�liau gautam filtruotam vaizdui atliekamas eksponentinis filtravimas stulpeliams. Lygiai t� pat� rezultat� galima pirma atliekant filtravim� vaizdo stulpeliams, o paskui � eilut�ms. Matemati�kai �i savyb� ekvivalenti teiginiui, kad kartotinio integralo reik�m� nepriklauso nuo integravimo tvarkos, jei integruojama funkcija yra pakankamai gera. Koks yra s�vokos �pakankamai gera� tikslus matematinis turinys mes netikslinsime, nes realaus pasaulio analoginiai vaizdai yra tolyd�s, m�s� filtrai taip pat tolyd�s, tai tolyd�ios funkcijos (vaizdo) ir tolydaus filtro sandauga taip pat yra tolydi funkcija ir  tokios kartotinio integralo reik�m�s nepriklauso nuo integravimo tvarkos. Tod�l diskre�iu atveju vidurkinant vaizd� reikia pritaikyti (\ref{u_vid}) filtr� eilut�ms, o po to pritaikyti t� pat� filtr� gautam vidurkintam vaizdui. Atliekant �ias operacijas galima naudoti skirting� $\sigma$ filtrus, bet d�l filtro simetri�kumo prasminga naudoti t� pa�i� $\sigma$.

\ref{fig:rainele} paveiksl�lyje  iliustruoti pradin� rainel�s vaizd�, jo vidurkint�, gradiento ir Laplaso vaizdus. Kad gradiento ir Laplaso vaizdai b�t� labiau informatyv�s, i� gaut� vaid� modulio buvo i�traukta kvadratin� �aknis ir padauginta i� �enklo.  Vidurkinimo skal�s parametro reik�m� $\sigma=3$. Kaip gaunamas vidurkintas vaizdas mes jau i�siai�kinome. Gradiento vaizdas �ymi vidurkinto vaizdo gradiento modul�, t. y.
\begin{equation}\label{eq:gradMod}
|\nabla {\overline u}| = \sqrt{(\frac{\partial {\overline u}}{\partial x})^2+(\frac{\partial {\overline u}}{\partial y})^2},
\end{equation}
o vidurkinto vaizdo Laplasas randamas pagal toki� taisykl�:
\begin{equation}\label{eq:lapl}
\Delta {\overline u} = \frac{\partial^2 {\overline u}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 {\overline u}}{\partial y^2}.
\end{equation}
Kadangi Laplaso vaizdo reik�m�s gali b�ti neigiamos ir teigiamos, teigiamos reik�m�s vaizduojamos raudonai, neigiamos � m�lynai. Kad rasti vaizdo i�vestines $x$ kryptimi, reikia taikyti (\ref{u_vid_isv}) ir  (\ref{u_vid_antra_isv})  taisykles eilut�ms ir (\ref{u_vid})  taisykl� stulpeliams. Vidurkinto vaizdo i�vestin�s $y$ kryptimi randamos taikant (\ref{u_vid_isv}) ir  (\ref{u_vid_antra_isv})  taisykles stulpeliams ir  (\ref{u_vid})  taisykl� eilut�ms.
\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{figures/001_1_1_pradinis}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/001_1_1_vidurkintas}\\
\includegraphics[scale=0.5]{figures/001_1_1_gradientas}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/001_1_1_Laplasas}
\label{fig:rainele}
\caption{Casia 1 duomen� baz�s pirmosios rainel�s pradinis vaizdas (kair�je vir�uje), jos vidurkintas analogas (de�in�je vir�uje, $\sigma=3$, vidurkinto vaizdo gradiento modulis (kair�je apa�ioje) ir vidurkinto vaizdo Laplasas (de�in�je apa�ioje)}
\end{figure}
Kadangi pratyb� metu v�lesn�se u�duotyse pasirinktinai lyginsite pir�t� atspaudus, veidus arba raineles, pateiksime ir veido bei raineli� vidurkint� vaizd� pavyzd�ius.
\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{figures/00001da010_930831_pradinis}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/00001da010_930831_vidurkintas}\\
\includegraphics[scale=0.5]{figures/00001da010_930831_gradientas}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/00001da010_930831_Laplasas}
\label{fig:veidas}
\caption{Ferret duomen� baz�s veido pradinis vaizdas (kair�je vir�uje), jo vidurkintas analogas (de�in�je vir�uje, $\sigma=3$, vidurkinto vaizdo gradiento modulis (kair�je apa�ioje) ir vidurkinto vaizdo Laplasas (de�in�je apa�ioje)}
\end{figure}
I� pateikt� vidurkinto veido, gradiento ir Laplaso vaizd� matyti, kad ir gradientas ir Laplaso vaizdai atrodo esteti�kai, tod�l yra prasminga i� j� i�skirti po�ymius.

\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{figures/1_1_pradinis}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/1_1_vidurkintas}\\
\includegraphics[scale=0.5]{figures/1_1_gradientas}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/1_1_Laplasas}
\label{fig:pa}
\caption{FVC 2000 DB1 duomen� baz�s pirmojo pir�to atspaudo pradinis vaizdas (kair�je vir�uje), jo vidurkintas analogas (de�in�je vir�uje, $\sigma=3$, vidurkinto vaizdo gradiento modulis (kair�je apa�ioje) ir vidurkinto vaizdo Laplasas (de�in�je apa�ioje)}
\end{figure}
Vidurkinti pir�to atspaudo gradiento ir Laplaso vaizdai atrodo neesteti�kai, nes susidaro �sp�dis, kad pir�to atspaudo linij� tankis yra padvigub�j�s du kartus. Tod�l v�liau i�skiriant po�ymius  rekomenduojama naudoti tik vidurkint� pir�to atspaud� arba Laplaso vaizde i�skirti apibendrintus minimumo ir maksimumo ta�kus.
\subsubsection{Dvima�io vidurkinimo praktin� u�duotis}
{\em
Para�yti program�, kuri apskai�iuot� duoto skaitmeninio vaizdo suglodinim� eksponentiniu simetriniu filtru ir rast� suglodinto vaizdo gradiento modulio ir Laplaso vaizdus.}

Algoritmo testavimui imkite $\sigma=3$ ir tokius vaizdus:
\begin{itemize}
\item Casia 1 DB pirmoji rainel� {\em figures/001\_1\_1.bmp}
\item Ferret grey DB pirmasis veidas {\em figures/00001da010\_930831.png}
\item FVC 2000 DB1 pirmasis pir�to atspaudas {\em figures/1\_1.tif}
\end{itemize}
Jei kyla problem� su kokio nors formato duomen� nuskaitymu, galite juos konvertuoti � jums patog� format� panaudojant \href{http://www.irfanview.com/}{http://www.irfanview.com/} ir pan. priemones..

Kontrolini� vaizd� apdorojimo rezultatus galite palyginti su �i� konspekt� iliustracijomis; turi gautis vaizdai pana��s � \ref{fig:rainele}-\ref{fig:pa} paveiksl�li� vaizdus.

{\em Vertinama iki 0.75 egzamino bal�. Jei d�l nepateisinam� prie�as�i� atsiskaitoma v�liau nei penkios savait�s nuo pirm�j� pratyb�, u� kiekvienos savait�s v�lavim� vertinimas ma�inamas 0.25 balo.}

\subsection{Vaizd� po�ymiai}
Vaizd� po�ymiams �vertinti naudosime gradiento modulio apibendrintus lokalius ekstremumus ir Laplaso nulio kirtimus \cite{bib:zc}. Abudu �ie po�ymiai apytikriai i�skiria vaizdo objekt� kont�rus. Ta�iau d�l i�vestini� nestabilumo dalis gaunam� kont�r� neturi ai�kios interpretacijos. Kad suma�inti toki� kont�r� skai�i� galima didinti vidurkinimo mastelio $\sigma$ vert�. Ta�iau toks b�das ma�ina reali� kont�r� pad�ties nustatymo tikslum�. Kitas b�das derinti gradiento apibendrint� lokali� maksimum� ir Laplaso nulio kirtim� kont�rus. Jei ir vienu ir kitu b�du gaunami greta du tokie kont�rai, tai labai padidina tikimyb�, kad jie atitinka real� kont�r�. Dar vienas b�das yra derinti kont�rus gautus vidurkinant vaizd� su keliais skirtingais $\sigma$. �ia v�l yra ie�komi artimi keliuose vidurkintuose vaizduose kont�rai, ta�iau tiksliai apibr��ti kont�r� �artumo� s�vok� gana keblu. Gana neblogai ir paprastai �netikri� kont�rai eliminuojami pasirenkant slenkst� ir ignoruojant kont�rus, kuri� gradiento modulio reik�m�s ma�esn�s u� slenkst� ir eliminuojant trumpus kont�rus. Ta�iau ir vienu ir kitu atveju reikia tur�ti slenkst� nusakant� gradiento arba kont�ro ilgio ma�um�, o tai menkina tokio b�do vert�.

Kokiu b�du i�skirti gradientiniame arba Laplaso vaizde kont�rus? Prad�sime nuo Laplaso vaizdo, kadangi jame kont�rai i�skiriami remiantis paprastu nuli� kirtimo principu, kuris pa�ymi diskre�ias pozicijas, kuri� kaimynyst�je Laplasas lygus nuliui. Labai ma�a tikimyb�, kad kokioje nors diskre�ioje pozicijoje Laplasas bus tiksliai lygus nuliui. Ta�iau kadangi Laplaso vaizde matome ir raudonas teigiamo �enklo zonas ir m�lynas neigiamo �enklo zonas,  tai ai�ku, kad atsiras j� jungimosi ta�kus. Papras�iausias b�das rasti tokius ta�kus yra fiksuoti pozicij� $(m,n)$ ir patikrinti s�lyg�
$$
 \Delta\overline u_{m,n+1}* \Delta\overline u_{m,n-1} \le 0 \ | \ \Delta\overline u_{m+1,n}* \Delta\overline u_{m-1,n} \le 0.
$$
Jei Laplaso vaizde randame tok� ta�kel�, j� pa�ymime tarkime baltai, likusius �ymime juodai.
Kiek sunkiau �vertinti gradiento apibendrintus ekstremumus. Jei �ym�tume tik tikrus gradiento ekstremumus, tai pa�ym�t� ta�k� vaizde atsirast� tik pavieniai pa�ym�ti ta�kai ir negautum�me kont�r�. Tod�l �vesime s�vok� apibendrinto ekstremumo.
\begin{apibrezimas}\label{local_ekstr}
Fiksuokime spindul� $R>0$  ir pozicij� $(x,y)$. Tarkime ta�kelio skritulin�je aplinkoje yra $C$ diskre�i� pozicij� nutolusi� ne daugiau kaip per atstum� $R$. Fiksuokime diskret�j� vaizd� $u=u_{x,y}$ ir tegul $c$ skritulin�s aplinkos ta�keliuose vaizdo reik�m�s vir�ija vaizdo reik�m� centriniame ta�ke. Tuomet sakysime, kad  $(x,y)$ yra diskretaus vaizdo $u_{x,y}$ $c$-osios eil�s apibendrinto maksimumo ta�kas, jei $c<=C/2$. Jei $c>C/2$., tok� ta�kel� Vadinsime $(C-1-c)$-osios eil�s apibendrintas minimumo ta�ku.
\end{apibrezimas}
Pagal pateikt� apibr��im� kiekvienas ta�kelis yra apibendrintas kokios nors eil�s maksimumo arba minimumo ta�keliu. Apibr��iant kont�r� mes paliksime tik ekstremum� ta�kelius, kuri� eil� yra nedidesn� u� pasirinkt� parametr�. Rekomenduojama fiksuoti $R=3$ ir pa�ym�ti visus apibendrintus ekstremumus, kuri� eil� nedidesn� u� 10. Ta�iau j�s esate laisvi eksperimentuoti ir pasirinkti savo parametrus. Apibendrintus maksimumo ta�kelius �ym�sime raudonai, o minimumo ta�kelius m�lynai. Tokiu b�du gausime dviej� spalv� kont�r� vaizdel�.
\ref{fig:raineles_pozymiai} paveiksl�lis iliustruoja raineles vidurkinto ir gradiento vaizduose i�skirtus kont�rus, kurie sudaryti i� apibendrint�j� ekstremum�. Vidurkintame vaizde raudonai nuspalvinti apibendrinti lokalaus maksimumo ta�kai, o m�lynai � minimumo ta�kai. Visais atvejais i�skiriant reik�mingus apibendrintus lokaliuosius ekstremumus �m�me $R=3$ ir lokalius ekstremumus, kuri� eil� nedidesn� kaip $10$ ($c<=10$). Taip pat pateiktas dar vienas kont�r� paveiksl�lis gautas pa�ymint baltai Laplaso nulio kirtimo ta�kus.

\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{figures/001_1_1_vidurkinto_ekstremumai}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/001_1_1_grad_ekstremumai}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/001_1_1_lapl_zero-crossing}
\label{fig:raineles_pozymiai}
\caption{Vidurkintos rainel�s apibendrinti lokal�s ekstremumai  (kair�je vir�uje), jos  gradiento apibendrinti lokal�s maksimumai (de�in�je vir�uje), Laplaso nulio kirtimai (apa�ioje)}
\end{figure}

\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{figures/00001da010_930831_vidurkinto_ekstremumai}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/00001da010_930831_grad_ekstremumai}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/00001da010_930831_lapl_zero-crossing}
\label{fig:veido_pozymiai}
\caption{Vidurkinto veido apibendrinti lokal�s ekstremumai  (kair�je ), jo  gradiento apibendrinti lokal�s maksimumai (viduryje), Laplaso nulio kirtimai (de�in�je)}
\end{figure}

\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{figures/1_1_vidurkinto_ekstremumai}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/1_1_grad_ekstremumai}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/1_1_lapl_zero-crossing}
\label{fig:pa_pozymiai}
\caption{Vidurkinto pir�to apibendrinti lokal�s ekstremumai  (kair�je ), jo  gradiento apibendrinti lokal�s maksimumai (viduryje), Laplaso nulio kirtimai (de�in�je)}
\end{figure}
\subsubsection{Skaitmeninio vaizdo kont�r� i�skyrimo praktin� u�duotis}
{\em
Para�yti program�, kuri apskai�iuot� duoto skaitmeninio vaizdo kont�rus. Pirma suglodinkite vaizd� eksponentiniu simetriniu filtru ir raskite jo gradiento modulio ir Laplaso vaizdus (pereita praktin� u�duotis). Toliau vidurkintame i�skirkite apibendrintus ekstremumus, gradientiniame vaizde apibendrintus lokalius maksimumus, o Laplaso vaizde � nulio kirtimus. Glodinimo parametr� $\sigma$, aplinkos spindul� $R$ ir ekstremum� eil� $C$ pasirinkite laisvai optimizuodami gaut� kont�r� estetin� vaizd�.}

I�skiriant kont�rus eksperimentuokite su pereitos u�duoties vaizdais. Pasistenkite gauti vaizdus pana�ius � \ref{fig:raineles_pozymiai}-\ref{fig:pa} pateiktuose paveiksl�liuose gautus kont�rus.

{\em Vertinama iki 0.75 egzamino bal�. Jei d�l nepateisinam� prie�as�i� atsiskaitoma v�liau nei devynios savait�s nuo pirm�j� pratyb�, u� kiekvienos savait�s v�lavim� vertinimas ma�inamas 0.25 balo.}

\subsection{Vaizd� po�ymi� ma�inimas ir papildomi atributai}

Gautus skaitmeninio vaizdo kont�r� ta�kus laikysime jo po�ymiais. I�skiriant po�ymius siekiama ma�inti j� kiek� atmetant ma�ai informatyvius ir pridedant atributus, didinan�ius po�ymi� informatyvum�. Intuityviai ai�ku, kad gautus kont�rus, sudarytus i� po�ymi� ta�k�, galima suploninti iki vieno ta�kelio storio prakti�kai nesuma�inant kont�r� ta�kais perteikiamos informacijos. Stor� kont�r�, ar plot� ploninimas iki vieno ta�kelio storio jungi� tak� linij� vadinamas {\em skeletizavimu} \cite{bib:skelet}. �iame kurse nesigilinsime ir nesieksime realizuoti kokio nors skeletizavimo algoritmo, o pasinaudosime j�s� koleg� skeletizavimo algoritm� kokia nors realizacija \cite{bib:skeletRealizacijos}. Turint skeletizuot� vaizd�, galima nutrinti labai trumpus jungius kont�rus, i�skirti kont�r� ypatingus ta�kus, kurie charakterizuoja linij� i�sid�stym� ir j� jungimosi topologij�. Papras�iausias b�das i�skirti ypatingus plon� linij� ta�kus yra fiksuoti linijos ta�kel� ir ie�koti kiek kart� jo a�tuoni� kaimyn� aplinkoje pereinama i� baltos � juod� arba atvirk��iai. Suradus �� skai�i�, jis dalinamas i� dviej� ir gauta vert� K charakterizuoja linijos ta�k�. �is metodas kartais vadinamas straipsnio autoriaus, kuris pirmasis j� paskelb�, Rutovi� vardu \cite{bib:rutovic}. �emiau pateiktoje lentel�je nurodytos galimos K reik�m�s ir jos interpretacijos.

\begin{tabular}{|c|l|}
\hline\hline
{\bf K} & {\bf Ta�ko interpretacija}\\
\hline\hline
0 & Pavienis\\
1& Pabaiga\\
2& Jungumo (neypatingas)\\
3& I�si�akojimo\\
4& Susikry�iavimo \\
\hline\hline
\end{tabular}


 Matemati�kai  tai galima u�ra�yti taip:

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
$u_6$ & $u_7$ & $u_8$ \\ \hline
$u_5$ & $u_0$ & $u_1$ \\ \hline
$u_4$ & $u_3$ & $u_2$\\
\hline
\end{tabular} $K = \frac12\sum_{i=1}^8 |u_i-u_{i+1}|$,
kur $u_9=u_1$ ir $|u_i-u_{i+1}|=0$, kai reik�m�s sutampa, ir $|u_i-u_{i+1}|=1$ prie�ingu atveju. Deja �is paprastas ypating� ta�k� klasifikacijos b�das kartais duoda nenat�ralius rezultatus. ]ref{tab:blogiAtvejai} lentel�je pateikta keletas pavyzd�i�. Pasvir� $0$ ir $1$ ta�keliai �ymi pozicijas, kuriose gaunami nenat�ral�s ypatingieji ta�kai. Toki� ta�k� eliminavimui taikomi papildomi vaizd� apdorojimo metodai \cite{bib:ypatingiTaskai}.
\begin{table}\label{tab:blogiAtvejai}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
 & 1& \\ \hline
 1& {\it 0}&1  \\ \hline
 & 1& \\ 
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
 & 1& &1 \\ \hline
 & {\it 0}&1 & \\ \hline
 & 1&1 & \\ \hline
1 & & &1 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
 & 1& & \\ \hline
 & {\it 0}&{\it 1} &1 \\ \hline
 & {\it 1}& {\it 0}& \\ \hline
 1& &1 & \\ \hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
 & &1 & \\ \hline
 1& {\it 0}&{\it 1} & \\ \hline
 & {\it 1}& {\it 0}&1 \\ \hline
 & 1& & \\ \hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
 1& & & \\ \hline
 &1 & & \\ \hline
 & {\it 0}&{\it 1} &1 \\ \hline
 1&{\it 1} &1 & \\ \hline
 & & &1 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
 &1 & &1 \\ \hline
 & {\it 0}&1 & \\ \hline
 & {\it 1}&{\it 0} & \\ \hline
 1&{\it 0} &{\it 1} &1 \\ \hline
 & & &1 \\ \hline
\end{tabular}
\caption{Nepatogi� ypating� ta�k� klasifikacijai atvej� pavyzd�iai}
\end{table}

Paliekant tolimesniam atpa�inimui naudoti tik i�skirtus ypatinguosius ta�kus �enkliai suma�iname po�ymi� kiek�. Taip labai da�nai daroma pir�t� atspaud� vaizd� palyginime. Ta�iau net ir pir�t� atspaud� atveju nepakanka vien tik informacijos apie ypatingojo ta�ko tip� ir jo  koordinates. Gana da�nai naudojami papildomi kont�ro ta�k� atributai, kurie pagerina atpa�inimo kokyb�. Tarkime kont�ras yra sudarytas i� gradiento modulio apibendrint�j� maksimumo ta�k�. Tokiuose ta�kuose gana patikimai �vertinama gradiento kryptis ir jos kvantuot� vert� galima laikyti papildomu po�ymio atributu.
\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{figures/001_1_1_suploninti+kryptys}
\label{fig:spalvotas_raimenles_skeletonas}
\caption{Rainel�s gradiento modulio po�ymiai su krypties atributu ($\sigma=2$)}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{figures/00001da010_930831_suploninti+kryptys}
\label{fig:spalvotas_veido_skeletonas}
\caption{Veido gradiento modulio po�ymiai su krypties atributu ($\sigma=3$)}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{figures/1_1_suploninti+kryptys}
\label{fig:spalvotas_pa_skeletonas}
\caption{Pir�to atspaudo po�ymiai su krypties atributu ($\sigma=1$)}
\end{figure}
\ref{fig:spalvotas_raimenles_skeletonas}-\ref{fig:spalvotas_pa_skeletonas} paveiksl�liai iliustruoja suplonintus gradient� kont�rus, kurie sudaryti i� apibendrint�j� maksimum�. Gaunant �iuos vaizdus, vidurkinant buvo naudoti (\ref{a0Alter}) ir (\ref{b0Alter}) formul�mis apskai�iuojami koeficientai $a_0$ ir $b_0$, o $\sigma$ vert�s buvo parenkamos individualiai kiekvienam paveiksl�lio tipui. Apibendrint�j� maksimum� kont�rai buvo suploninti panaudojant skeletizavimo algoritm� \cite{bib:ZhangSuen}. Suplonint� kont�r� ta�kai  nuspalvinti remiantis gradiento kryptimi. Gradiento vektorius yra sudarytas i� vidurkinto vaizdo i�vestini� $x$ ir $y$ kryptimis. �ias i�vestines anks�iau naudojome apskai�iuojant gradiento modulio(\ref{eq:gradMod}) reik�mes. Spalvos kvantuojamos a�tuoniomis lygiomis dalimis i� galim� gradiento vektoriaus polinio kampo reik�mi�. Spalv� tvarka pagal laikrod�io rodykl�: RED, GREEN, BLUE, WHITE, YELLOW, CYAN, MAGENTA, GREY; pirma raudona spalva �ymi kryptis, kurios sudaro su horizonto kryptimi kamp� $\alpha$ nuo $-\pi/8$ iki $\pi/8$. Gradiento kampas su horizonto a�imi surandamas pagal formul�
$$
\alpha = \atandu(\overline u_y(x,y),\overline u_x(x,y)).
$$
�ia $\atandu=\atandu(y,x)$ dviej� argument� funkcija, kuri ta�ko Dekarto koordinat�ms (x,y) gr��ina polinio kampo reik�m�. �i funkcija yra realizuota visose programavimo kalbose; ja naudojantis atkreipkite d�mes�, kad kreipiantis reikia sukeisti Dekarto koordina�i� tvark�.

\subsubsection{Raineli�, veid� ir pir�t� atspaud� viening� po�ymi� i�skyrimo praktin� u�duotis}
{\em
Para�yti program�, kuri apskai�iuot� duoto skaitmeninio vaizdo suplonintus apibendrint� gradiento modulio maksimum� kont�rus. Kont�rus nuspalvinkite pagal kvantuotas a�tuonias gradiento kryptis. Skai�iavimas naudokite ankstesn�s u�duoties program�. Vidurkinimo parametr� $\sigma$ parinkite savo nuo�i�ra individualiai kiekvieno tipo vaizdui, kad gaut�si esteti�kesnis galutini� po�ymi� vaizdas.}

Eksperimentuokite su pereitos u�duoties vaizdais. Pasistenkite gauti vaizdus pana�ius �  \ref{fig:spalvotas_raimenles_skeletonas}-\ref{fig:spalvotas_pa_skeletonas} paveiksl�liuose gautus rainel�s, veido ir pir�to atspaudo po�ymi� vaizdus.

{\em Vertinama iki 0.75 egzamino bal�. Jei d�l nepateisinam� prie�as�i� atsiskaitoma v�liau nei vienuolika savai�i� nuo pirm�j� pratyb�, u� kiekvienos savait�s v�lavim� vertinimas ma�inamas 0.25 balo.}

